Question

【题目】如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.

（1）当是中点时，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.

【试题解析】

（1）取中点，连结，则∥且.

因为当为中点时，∥且，

所以∥且 .

所以四边形为平行四边形，∥，

又因为，，

所以平面；

（2）假设存在满足条件的点，设.

以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.

则，，，平面的法向量，

平面的法向量，，

解得，所以存在满足条件的点，此时.