Question

【题目】已知曲线的方程是：，点．

（1）若，直线过点且与曲线只有一个公共点，求直线的方程；

（2）若曲线表示圆且被直线截得的弦长为，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）时，配方得，这是圆的方程.当直线斜率不存在是，方程为与圆恰好只有一个交点.当直线斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径，可求出斜率为，从而求得直线方程为；（2）配方得，圆心的到直线的距离，据圆的弦长公式得.

试题解析：

（1）当时，曲线的方程可化为：，表示圆，又直线过点且与曲线只有一个公共点，故直线与圆相切．

① 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，故，直线的方程为：；

② 当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，

综上得所求直线的方程为或．

（2）配方得，方程表示圆知得．

圆心的到直线的距离，根据圆的弦长公式得．