Question

【题目】已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P．

(Ⅰ)求曲线长度；

(Ⅱ)当时，求点到平面APB的距离；

(Ⅲ)证明：不存在，使得二面角的大小为．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 不存在

【解析】试题分析：(Ⅰ)在侧面展开图中根据几何性质求解；(Ⅱ) 建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABP的一个法向量及向量 ，利用空间向量点到直线距离公式求解；(Ⅲ)假设存在满足要求的，在空间坐标系中求出法向量，根据空间向量夹角余弦公式，列出关于的方程，看是否有解即可.

试题解析：(Ⅰ) 在侧面展开图中为BD的长，其中AB = AD = π，

∴的长为;

(Ⅱ)当时，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有、、、，

、、

设平面ABP的法向量为，则，

取z = 2得，所以点C1到平面PAB的距离为；

注：本题也可以使用等积法求解．

(Ⅲ) 假设存在满足要求的，

在（II）的坐标系中， ，

，

设平面ABP的法向量为，则

，

取x1 = 1得，

又平面ABD的法向量为，

由二面角的大小为，

则 ．

∵，∴时，均有，与上式矛盾．

所以不存在使得二面角的大小为．