Question

【题目】已知f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，求：
（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，它的最小正周期为 =π，

令2x+ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x= + ，k∈Z

（2）解：令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函数f（x）的增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z
（3）解：若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，则函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0， ]上有交点．

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，f（x）∈[2﹣ ， ]，

故m﹣1∈[2﹣ ， ]，∴m∈[3﹣ ， ]

【解析】（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论．（2）求出y=sin（2x+ ）的减区间，即为f（x）的单调递增区间，再利用正弦函数的单调性得出结论．（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0， ]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得m的范围．