【题目】甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束,设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为
,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】如图,已知某市穿城公路自西向东到达市中心
后转向东北方向,
,现准备修建一条直线型高架公路
,在
上设一出入口
,在
上设一出入口
,且要求市中心
到
所在的直线距离为
.
(1)求,
两出入口间距离的最小值;
(2)在公路段上距离市中心
点
处有一古建筑
(视为一点),现设立一个以
为圆心,
为半径的圆形保护区,问如何在古建筑
和市中心
之间设计出入口
,才能使高架公路及其延长线不经过保护区?
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【题目】如图,三棱锥中,底面△
是边长为2的正三角形,
,
底面
,点
分别为
,
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得三棱锥
体积为
?若存在,确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标中,圆
,圆
。
(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,并求出圆
的交点坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求圆的公共弦的参数方程。
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【题目】已知某市年全社会固定资产投资以及增长率如图所示,则下列说法错误的是( )
A.从2013年到2019年全社会固定资产的投资处于不断增长的状态
B.从2013年到2019年全社会固定资产投资的平均值为亿元
C.该市全社会固定资产投资增长率最高的年份为2014年
D.2016年到2017年全社会固定资产的增长率为0
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【题目】如图,椭圆的右顶点为
,左、右焦点分别为
、
,过点
且斜率为的直线与
轴交于点
, 与椭圆交于另一个点
,且点
在
轴上的射影恰好为点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点且斜率大于
的直线与椭圆交于
两点(
),若
,求实数
的取值范围.
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【题目】年初,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了有效地控制病毒的传播,某医院组织专家统计了该地区
名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期高于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
(1)求这名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和众数;
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关;
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
(3)研究发现,某药物对新冠病毒有一定的抑制作用,需要从这人中分层选取
位
岁以下的患者做Ⅰ期临床试验,再从选取的
人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验,求两人中恰有
人为“短潜伏者”的概率.
附表及公式:
.
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【题目】如图,四边形为平行四边形,且
,点
,
为平面
外两点,
且
,
.
(1)在多面体中,请写出一个与
垂直的平面,并说明理由;
(2)若,求直线
与平面
所成的角.
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