Question

【题目】如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.

（1）求证:；

（2）求三棱锥的体积；

（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）;（3）见解析.

【解析】

(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.

(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得.

(3)在上存在中点,使得.取的中点,连结. 易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.

(1)连结,∵为的中点,,

∴为等腰直角三角形,

则,同理可得,∴,∴,

又,且, ∴,

又∵,∴,又,∴.

(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,

∴,而是三棱锥的高,

∴.

(3)在上存在中点,使得.理由如下:

取的中点,连结.

∵是的中点, ∴,且,

又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,

所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,

又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.