Question

【题目】已知F1,F2为椭圆C： 的左右焦点，点为其上一点，且有.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）圆O是以F1,F2为直径的圆，直线l: y =k x + m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A,B，若，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析；（1）设椭圆 的标准方程为 ，由已知 ，由此能求出椭圆 的标准方程

（2）由直线 与圆 相切，得 ，设

由 消去 ，得，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出 的值.．

试题解析;（1）由题意得： ，解得： ，

则椭圆方程为.

（2）由直线l与圆O相切，得 ，即m2=1+k2，

设A（x1，y1）B（x2，y2）,

由 消去y，整理得： ，

Δ＝(8km)2－4(4m2－12)·(3＋4k2)＝16(9k2＋6)＞0恒成立,

所以 ，

∵m2=1+k2，

解得.