Question

【题目】椭圆 的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2．
此时直线x=m=c=1；
把x=1代入椭圆 的方程得：y=± ．
∴AB=3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB= ×3×EF= ×3×2=3．
所以答案是：3．