Question

【题目】已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数_______

Answer 1

【答案】

【解析】

(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函数f(x)有两个零点，舍去。

(ii)当a≠0时,f′(x)=3ax26x=3ax(x),令f′(x)=0,解得x=0或2a.

①当a<0时, <0,当x<或x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当<x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增。

∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。

∵函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则，无解，舍去。

②当a>0时, >0,当x>或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当0<x<时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减。

∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。

∵函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则f(>0,即+1>0，a>0，解得a>2.

综上可得：实数a的取值范围是(2,+∞).

故答案为：(2,+∞).