Question

【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1 ．

Answer 1

【答案】证明：（1）连结A1D，AD1 ， A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1 ，
∵OE∥BD1 ， OE平面ABD1 ， BD1平面ABD1 ，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1 ，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1 ，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1 ．

【解析】（1）连结A1D，AD1 ， A1D∩AD1=O，连结OE，推导出OE∥BD1 ， 由此能证明BD1∥平面A1DE．
（2）推导出A1D⊥AD1 ， A1D⊥AB，由此能证明A1D⊥平面ABD1 ．