Question

【题目】已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）

（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；

（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）e；（2）2.

【解析】

（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；

（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.

（1）根据题意，与的图象关于直线对称，

所以函数的图象与互为反函数，则,，

设点，，又，

当时，，

曲线在点处的切线为，

即，代入点，

得，即，

构造函数，

当时，，

当时，，

且，当时，单调递增，

而， 故存在唯一的实数根.

（2）由于不等式恒成立，

可设，

所以，

令，得.

所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为 .

令，

因为， ，

又因为在是减函数.

所以当时，.

所以正整数的最小值为2.