【题目】如图所示,三棱柱中,
平面
,点
,
分别在线段
,
上,且
,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若,
,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取中点为
,根据几何关系,求证四边形
为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行;
(Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量和平面的法向量,即可求得线面角的正弦值.
(Ⅰ)取的中点
,连接
,
.如下图所示:
因为,
分别是线段
和
的中点,
所以是梯形
的中位线,所以
.
又,所以
.
因为,
,
所以四边形为平行四边形,所以
.
所以,
.
所以四边形为平行四边形,所以
.
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)因为,且
平面
,
故可以为原点,
的方向为
轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
如下图所示:
不妨设,则
,
所以,
,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,
则所以
可取.
设直线与平面
所成的角为
,
则.
故可得直线与平面
所成的角的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且
的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数
(元)的分布列并求其数学期望.
附:参考公式和数据:,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和费率浮动比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | ||
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮 | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮 |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆车,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为
(
,
为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点M
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
.
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)若点A,B为曲线上的两个点且
,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:
的左、右顶点分别为
、
,上、下顶点分别为
、
.设直线
倾斜角的余弦值为
,圆
与以线段
为直径的圆关于直线
对称.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)判断直线与圆
的位置关系,并说明理由;
(3)若圆的面积为
,求圆
的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】凤梨穗龙眼原产厦门,是厦门市的名果,栽培历史已有100多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级(如下表).
级别 | 三级品 | 二级品 | 一级品 | 特级品 |
某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况,随机抽取了100个龙眼干作为样本(直径分布在区间),统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下:
频数 | 1 | 29 | 7 |
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个,其中一级品有2个.
(1)求、
的值,并估计这批龙眼干中特级品的比例;
(2)已知样本中的100个龙眼干约500克,该农场有500千克龙眼干待出售,商家提出两种收购方案:
方案:以60元/千克收购;
方案:以级别分装收购,每袋100个,特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋.
用样本的频率分布估计总体分布,哪个方案农场的收益更高?并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知离心率为的椭圆
,
经过抛物线
的焦点
,斜率为1的直线
经过
且与椭圆交于
两点.
(1)求面积;
(2)动直线与椭圆有且仅有一个交点,且与直线
,
分别交于
两点,且
为椭圆的右焦点,证明
为定值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com