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【题目】已知函数
．
（Ⅰ）若
，求
的单调性和极值；
（Ⅱ）若函数
至少有1个零点，求
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
在
上单调递减，在
上单调递增，极小值为-2，无极大值 （Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）求导得到
，分别得到当
时，
，当
时，
，判断出
单调性，从而得到其极值；
（Ⅱ）根据题意得到
，令
，求导得到
，由
得
，令
，由零点存在定理得到存在
，使得
，由得到
的最小值，再对
的零点进行分类讨论，得到答案.
（Ⅰ）当
时，
，
∴
当时，
，
，
∴
，
当时，
，
，
∴
∴在上单调递减，在上单调递增
在
处取得极小值，极小值为
，无极大值
（Ⅱ）∵
，
由
得
令，
则
由得．
令，当
时，
，
∴在
单调递增，
∵
，
，
∴存在，使得
且当
时，
，即
，
当
时，
，即
∵
，
，
∴当时，
；
当时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增
∴在
处取得最小值
∵，
∴
，即
，
∴
，即
∴当
时，函数无零点，
当
时，∵
，
∴函数至少有1个零点，
故
的取值范围是.
