Question

【题目】设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）= ，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．
（1）求实数a的值．
（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．
（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+ ，

则f'（1）=a+1，f（1）=0，

∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1），代入（2，3），得3=1+a，即a=2

（2）解：存在k=1符合题意，证明如下：

令 ，

当x∈（0，1]时，φ（x）＜0，φ（2）= ＞ ，

∴φ（1）φ（2）＜0．

可得x0∈（1，2），使得φ（x0）=0，

φ′（x）=lnx+ + ，

当x∈（1，2）时，φ′（x）＞1+ ＞0；

当x∈[2，+∞）时，φ′（x）=lnx+ + ＞0．

即x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0．

φ（x）在（1，+∞）上单调递增．

可得φ（x）=0在（1，2）有唯一实根．

∴存在k=1使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点

（3）解：x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，则m≤hmax（x）．

由（2）知，函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点x0 ．

当x∈（0，x0）时，f（x）＜g（x），x∈（x0，+∞）时，f（x）＞g（x），

∴h（x）= ，

当x∈（0，x0]时，若x∈（0，1]，h（x）=f（x）≤0，

若x∈（1，x0]，h′（x）=lnx+ ＞0，h（x）在（1，x0]上单调递增，

∴0＜h（x）≤h（x0），

当x∈（x0，+∞）时，h′（x）= ，

可得x∈（x0，2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．

∴x∈（x0，+∞）时，h（x）≤h（2）= ，且h（x0）＜h（2）．

可得 ．

∴ 时，x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立

【解析】（1）利用导数求出函数f（x）在x=1处的切线方程，把点（2，3）代入切线方程即可求得实数a的值；（2）构造函数 ，利用导数判断x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上单调递增．结合φ（1）φ（2）＜0，可得x0∈（1，2），使得φ（x0）=0，从而求得k值；（3）由题意写出分段函数h（x），然后利用导数分类求出函数的最大值，得到h（x）在（0，+∞）上的最大值，即可求得满足条件的实数m的取值范围．