Question

【题目】如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。

（１）证明：平面平面；

（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（１）证明面面垂直，实质是证明线面垂直，由题意可转化为证明平面，而证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与证明往往需要结合平几知识，如本题利用正三角形性质得，而由直三棱柱性质可推导得（２）先根据线面垂直确定线面角：设AB的中点为D,证明平面，则直线直线与平面所成的角，由直三棱柱性质易得三棱锥的高，最后根据三棱锥体积公式求体积.

试题解析：（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又是正三角形 的边的中点，

所以，因此平面，而平面，

所以平面平面。

（２）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，

所以

在中，，所以

故三棱锥的体积．