Question

【题目】设函数.

（1）当时，函数与的图象有三个不同的交点，求实数的范围；

（2）讨论的单调性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数在上单调递减，当时，函数在上递减，在上递增，在上递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

【解析】

试题分析：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值与零点个数以及分类讨论思想的应用；(1)作差，分离参数构造函数，通过导数研究函数的极值，再通过函数的图象进行求解；(2)求导，确定导函数的两个零点，讨论两零点的大小进行求解.

试题解析：（1）当时， ，

故，令，

则，

故当时，；当时，；当时，；，，故.

（2）因为，所以.

当时，恒成立，故函数在上单调递减；

当时，时，，时，，当时，，

故函数在上递减，在上递增，在上递减；当时，时，，时，，当时，；

故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上递减，在上递增，在上递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.