Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的单调区间．

（2）当且时，不等式在上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）(2)3

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数，问题转化为k＜对任意x＞1恒成立，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

解析：

（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e﹣3，由f′（x）＜0得到x＜e﹣3，

∴函数f（x）=2x+xlnx的增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）．

（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）k＜，

即k＜对任意x＞1恒成立．

令g（x）=，则g′（x），

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

则h′（x）=1﹣=＞0h（x）在（1，+∞）上单增．

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，

当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

g（x）min=g（x0）= =x0∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3.