【题目】已知点是抛物线
的顶点,
,
是
上的两个动点,且
.
(1)判断点是否在直线
上?说明理由;
(2)设点是△
的外接圆的圆心,求点
的轨迹方程.
【答案】(1)点在直线
上,理由见解析(2)
【解析】
(1)由抛物线的方程可得顶点的坐标,设直线
的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出数量积
,再由题意
可得直线
恒过
,即得
在直线
上;
(2)设,
的坐标,可得直线
,
的斜率及线段
,
的中点坐标,进而求出线段
,
的中垂线的方程,两个方程联立求出外接圆的圆心
的坐标,由(1)可得
的横纵坐标关于参数
的表达式,消参数可得
的轨迹方程.
(1) 点在直线
上.理由如下,
由题意, 抛物线的顶点为
因为直线与抛物线有2个交点,
所以设直线AB的方程为
联立得到
,
其中,
所以,
因为
所以
,
所以,
解得,
经检验,满足,
所以直线AB的方程为,恒过定点
.
(2)因为点是
的外接圆的圆心,所以点
是三角形
三条边的中垂线的交点,
设线段的中点为
,线段
的中点为为
,
因为,设
,
,
,
所以,
,
,
,
,
,
所以线段的中垂线的方程为:
,
因为在抛物线上,所以
,
的中垂线的方程为:
,即
,
同理可得线段的中垂线的方程为:
,
联立两个方程,解得
,
由(1)可得,
,
所以,
,
即点,所以
,
即点的轨迹方程为:
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且
.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数组,
,
,数
称为数组
的元素.对于数组
,规定:
①数组中所有元素的和为
;
②变换,
将数组
变换成数组
,其中
表示不超过
的最大整数;
③若数组,则当且仅当
时,
.
如果对数组中任意
个元素,存在一种分法,可将其分为两组,每组
个元素,使得两组所有元素的和相等,则称数组
具有性质
.
(Ⅰ)已知数组,
,计算
,
,并写出数组
是否具有性质
;
(Ⅱ)已知数组具有性质
,证明:
也具有性质
;
(Ⅲ)证明:数组具有性质
的充要条件是
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的参数方程为:,
为参数
点的极坐标为
,曲线C的极坐标方程为
.
Ⅰ
试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并求曲线C的焦点在直角坐标系下的坐标;
Ⅱ
设直线l与曲线C相交于两点A,B,点M为AB的中点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件,现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比,其质量按测试指标可划分为:指标在区间100的为一等品;指标在区间
的为二等品
现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中,各自随机抽取100件作为样本进行检测,测试指标结果的频率分布直方图如图所示:
若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级,利用分层抽样的方法抽取10件,再从这10件零件中随机抽取3件,求至少有1件一等品的概率;
将频率分布直方图中的频率视作概率,用样本估计总体
若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件,记3件零件中所含一等品的件数为X,求X的分布列及数学期望.
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