Question

【题目】已知函数 是[1，∞]上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（ ）
A.（0，﹣3）
B.（0，3）
C.（0，﹣2）
D.（0，2）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由 得g′（x）=x2+1﹣ ．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+1﹣ ≥0在[1，+∞）上恒成立．
设x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+1﹣ ≥0在[1，+∞）上恒成立．
设y=t+1﹣ ，t∈[1，+∞），
∵y′=1+ ＞0，
∴函数y=t+1﹣ 在[1，+∞）上单调递增，因此ymin=2﹣m．
∵ymin≥0，∴2﹣m≥0，即m≤2．又m＞0，故0＜m≤2．m的最大值为2．
故得g（x）= x3+x﹣2+ ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
将函数g（x）的图象向上平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）= x3+2x+ ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（﹣x）=﹣φ（x），
∴φ（x）为奇函数，
故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，﹣2）成中心对称．
这表明存在点Q（0，﹣2），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故选：C．