Question

【题目】设是上的奇函数，且当时，，.

（1）若，求的解析式；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若的值域为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)根据求出参数，利用奇函数的定义可求出当时函数的解析式，由是上的奇函数可知，即可写出函数解析式；（2）由可知当时，，即可判断函数在上单调递增，由奇函数在对称的区间上单调性一致可知在上单调递增, 利用函数的单调性与奇偶性将符号脱掉，转化为恒成立问题，即可求解；（3）首先使对都有意义，由奇函数的图象与性质可知，要使的值域为，则当时，使在第一象限及的正半轴上都有图象，列出相应不等式即可.

（1）因为，则，所以.

所以当时，，又，故

.

（2）若，则在上单调递增，故等价于

，令，

于是在恒成立，

设，

①当时，则，于是，

②当时，则，得，

综上，.

（3）设，

首先对恒成立，

可得对恒成立，

故.

由题意知，若函数的值域为，

只需在上有解，即有解，

故有，

所以：.