Question

【题目】已知函数， ．

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上为单调增函数．

①求最大整数值；

②证明： ．

Answer 1

【答案】（1）（2）①2②见解析

【解析】试题分析：（1）将代入到函数，再对求导，分别求出和，即可求出切线方程；（2）①若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立，则先证明，构造新函数，求出单调性，再同理可证，即可求出的最大整数值；②由①得，令，可得，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.

试题解析：（1）当时，

∴，

又，∴，

则所求切线方程为，即．

（2）由题意知， ，

若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．

①先证明．设，则，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，即．

同理可证

∴，∴．

当时， 恒成立．

当时， ，即不恒成立．

综上所述， 的最大整数值为2．

②由①知， ，令，

∴

∴．

由此可知，当时， ．当时， ，

当时， ， ，当时， ．

累加得 ．

又 ，

∴ ．