Question

【题目】在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由个人依次出场解密，每人限定时间是分钟内，否则派下一个人.个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.

（1）若甲解密成功所需时间的中位数为，求、的值，并求出甲在分钟内解密成功的频率；

（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为，其中表示第个出场选手解密成功的概率，并且定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.

①求该团队挑战成功的概率；

②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目的分布列与数学期望.

Answer 1

【答案】（1），，甲在分钟内解密成功的频率；（2）①；②详见解析，.

【解析】

（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为可求得、的值，并根据频率分布直方图求得甲在分钟内解密成功的频率；

（2）①由（1）得出，求出、的值，由此得出该团队挑战成功的概率为；

②由题意可得出随机变量的可能取值有、、，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量在不同取值下的概率，据此可得出随机变量的分布列，结合期望公式可计算出的数学期望值.

（1）甲解密成功所需时间的中位数为，

，解得，

，解得，

由频率分布直方图知，甲在分钟内解密成功的频率是；

（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为，

第二个出场选手解密成功的概率为，

第三个出场选手解密成功的概率为，

所以该团队挑战成功的概率为；

②由①可知按从小到大的顺序的概率分别、、，

根据题意知的取值为、、，

则，，，

所以所需派出的人员数目的分布列为：

因此，.