Question

【题目】设函数 （x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）当﹣1≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，求实数k的取值范围

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知有： =sin2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+1=（sinx﹣t）2+t2﹣6t+1，

由于x∈R，∴﹣1≤sinx≤1，

∴当t＜﹣1时，则当sinx=﹣1时，f（x）min=2t2﹣4t+2；

当﹣1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）min=t2﹣6t+1；

当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）min=2t2﹣8t+2；

综上，

（2）解：当﹣1≤t≤1时，g（t）=t2﹣6t+1，方程g（t）=kt即t2﹣6t+1=kt，

即方程t2﹣（k+6）t+1=0在区间[﹣1，1]有且仅有一个实根，

令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，则有：

①若△=（k+6）2﹣4=0，即k=﹣4或k=﹣8．

当k=﹣4时，方程有重根t=1；当k=﹣8时，c方程有重根t=﹣1，∴k=﹣4或k=﹣8．

② k＜﹣8或 k＞﹣4，

综上，当k∈（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞）时，关于t的方程g（t）=kt在区间[﹣1，1]有且仅有一个实根

【解析】（1）首先对函数f（x）进行化简整理，进而看当t＜﹣1，﹣1≤t≤1和t＞1时时函数f（x）的最小值，进而确定g（t）的解析式．（2）根据（1）可知当﹣1≤t≤1时函数g（t）的解析式，整理g（t）=kt得t2﹣（k+6）t+1=0问题转化为在区间[﹣1，1]有且仅有一个实根，先根据判别式等于0求得k的值，令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，进而确定函数与x轴的轴有一个交点落在区间[﹣1，1]分别求得k的范围，最后综合可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．