Question

给出下列命题，其中正确命题的个数为（　　）
①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三个是增函数；
②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x₀∈R，使sinx₀＞1；
③若函数f（x）是偶函数，则f（x-1）的图象关于直线x=1对称；
④已知函数f（x）=

3x-2，      x≤2 log3(x-1)，x＞2

则方程f（x）=

1

2

有2个实数根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①利用函数的单调性进行判断．②利用含有量词的否定进行判断．③利用偶函数的性质，以及函数的平移关系判断．④利用根的存在性定理进行判断．

解答：解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1为减函数，y=x 

1

2

为增函数，y=（x-1）²不单调，y=x³为增函数，所以增函数有两个，所以①错误．
②根据全称命题的否定是特称命题得，￢p：∃x₀∈R，使sinx₀＞1，所以②正确．
③若函数f（x）是偶函数，则函数f（x）关于y轴对称，即x=0对称，将函数f（x）向右平移1个单位得到f（x-1），此时函数关于x=1对称，所以③正确．
④当x≤2时，f（x）=3^x-2∈（0，1]，当f（x）=

1

2

时，此时有一解，当x＞2时，f（x）=log₃（x-1）＞0，f（x）=

1

2

时，此时有一解，所以方程f（x）=

1

2

有2个实数根，所以④正确．
故正确的命题有三个．
故选C．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．