Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上为单调增函数.

①求最大整数值；

②证明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2；②见解析．

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程（2）①先转化条件为恒成立，再根据，得当时， 恒成立.最后举反例说明当时， 不恒成立.②对应要证不等式，在中取，得，再根据等比数列求和公式得左边和为，显然.

试题解析：（1）当时， ，∴，

又，∴，

则所求切线方程为，即.

（2）由题意知， ，

若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立.

①先证明.设，则，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，即.

同理可证，∴,∴.

当时， 恒成立.

当时， ，即不恒成立.

综上所述， 的最大整数值为2.

②由①知， ，令，

∴，∴.

由此可知，当时， .当时， ，

当时， ， ，当时， .

累加得.

又，

∴.