Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 ． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意得 = ， 2a2b=4 ，又a2=b2+c2 ， 由此解得a=2，b= ． 所以椭圆E的方程为 =1．
（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0 ， y0）．
∵M点在椭圆上，∴y02= （4﹣x02）． ①
又点M异于顶点A、B，∴﹣2＜x0＜2．
由P、A、M三点共线可以得P ．
从而 =（x0﹣2，y0）， = ．
∴ =2x0﹣4+ = （x02﹣4+3y02）． ②
将①代入②，化简得 = （2﹣x0）．
∵2﹣x0＞0，∴ ＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
则﹣2＜x1＜2，﹣2＜x2＜2，又MN的中点Q的坐标为 ，
依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
|BQ|2﹣ |MN|2= + ﹣ [（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2]
=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2 ③
直线AP的方程为y= （x+2），直线BP的方程为y= （x﹣2），
而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，
∴ = ，即y2= ④
又点M在椭圆上，则 =1，即y12= （4﹣x12） ⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|2﹣ |MN|2= （2﹣x1）（x2﹣2）＜0．

【解析】（Ⅰ）依题意得 = ， 2a2b=4 ，又a2=b2+c2 ， 由此解得a，b．即可得出．（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．分析如下： 方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0 ， y0）．又点M异于顶点A、B，可得﹣2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．可得 ＞0，即可证明．方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差．|BQ|2﹣ |MN|2=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2 ， 两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，可得 = ，化简后可得|BQ|2﹣ |MN|2＜0，即可证明．