【题目】有限数列,若满足
,
是项数,则称
满足性质
.
(1)判断数列和
是否具有性质
,请说明理由.
(2)若,公比为
的等比数列,项数为10,具有性质
,求
的取值范围.
(3)若是
的一个排列
都具有性质
,求所有满足条件的
.
【答案】(1)第一个数列具有性质,第二个数列不具有性质
;理由见解析;(2)
;(3)答案见解析.
【解析】
(1)结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质;
(2)等比数列具有性质等价于
对任意的
恒成立,就
分类讨论后可得
的取值范围.
(3)设,先考虑
均不存在具有性质
的数列,再分别考虑
时具有性质
的数列,从而得到所求的数列.
(1)对于第一个数列有,满足题意,该数列满足性质
对于第二个数列有不满足题意,该数列不满足性质
.
(2)由题意可得,
两边平方得:
整理得:
当时,得
, 此时关于
恒成立,
所以等价于时
,所以
,
所以或者
,所以取
.
当时,得
, 此时关于
恒成立,
所以等价于时
,所以
,
所以,所以取
.
当时,得
.
当为奇数的时候,得
, 很明显成立,
当为偶数的时候,得
, 很明显不成立,
故当时,矛盾,舍去.
当时,得
.
当为奇数的时候,得
, 很明显成立,
当为偶数的时候,要使
恒成立,
所以等价于时
,所以
,
所以或者
,所以取
.
综上可得,.
(3)设,
,
因为, 故
,
所以可以取
或者
,
若,
,则
,
故或
(舍,因为
),
所以(舍,因为
).
若,
,则
,
故(舍,因为
),或
所以(舍,因为
).
所以均不能同时使
,
都具有性质
.
当时,即有
,
故,故
,
故有数列:
满足题意.
当时,则
且
,故
,
故有数列:
满足题意.
当时,
,
故,故
,
故有数列:
满足题意.
当时,则
且
,
故,
故有数列:
满足题意.
故满足题意的数列只有上面四种.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),将曲线
上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线
,以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
(2)曲线上是否存在不同的两点
,
(以上两点坐标均为极坐标,
,
),使点
、
到
的距离都为3?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)设是曲线
上的一个动眯,当
时,求点
到直线
的距离的最小值;
(2)若曲线上所有的点都在直线
的右下方,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】盒中有6个小球,3个白球,记为个红球, 记为
个黑球, 记为
,除了颜色和编号外,球没有任何区别.
(1) 求从盒中取一球是红球的概率;
(2)从盒中取一球,记下颜色后放回,再取一球,记下颜色,若取白球得1分,取红球得2分,取黑球得3分,求两次取球得分之和为5分的概率
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计,某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,其余的员工每天使用微信时间在一小时以上,若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,那么经常使用微信的员工中都是青年人.
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出并完成2×2列联表:
(2)由列联表中所得数据判断,是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?
(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人,从这6人中任选2人,求选出的2人,均是青年人的概率.
附:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米,当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟领先他10米,当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟先他1米....所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时,乌龟爬行的总距离为( )
A.米B.
米C.
米D.
米
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