Question

【题目】已知点及圆.

(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；

(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）不存在.

【解析】

（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可。（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可。

(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.

所以直线方程为，即.

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．

即直线的方程为或.

(2)由于，而弦心距，

所以.

所以恰为的中点．

故以为直径的圆的方程为.

(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.

由于直线交圆于两点，

故，

即，解得.

则实数的取值范围是．

设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦，故圆心 必在上．所以的斜率，

而，

所以.由于 ，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.