Question

【题目】在下列命题中

①函数f（x）=在定义域内为单调递减函数；

②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；

③若f（x）为奇函数，则f（x）dx=2f（x）dx（a＞0）；

④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；

⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．

其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】对于①，函数f（x）= 在定义域内的区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数， ∴①错误． 对于②，由题意得f（2﹣（x+2））=f（2+（x+2）），即f（﹣x）=f（4+x）=f（x）， ∴f（x）是偶函数；∴②正确． 对于③，根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，且被积函数f（x）是奇函数， 得f（x）dx=0，∴③错误． 对于④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c；

当a+b+c=0时，（2b）2﹣4×3a×（﹣a﹣b）=4b2+12a2+12ab=4 +3a2＞0，∴f′（x）有二不等零点，f（x）有极值； 当f（x）有极值时，f′（x）=3ax2+2bx+c有二不等零点，即4b2﹣12ac＞0，不能得出a+b+c=0； ∴是充分不必要条件，④正确．

对于⑤，∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴f（x）是增函数，∴当a+b＞0时，a＞﹣b，∴f（a）＞f（﹣b）； 又∵f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，∴f（﹣b）=﹣f（b）； ∴f（a）＞﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正确． 综上，正确的命题是②④⑤；

故答案为：②④⑤．