Question

【题目】如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．

（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE平分∠ABC，理由如下：

证明：∵AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC，

∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，

∵∠CAD=∠EBC，

∴∠ABC=2∠EBC，

∴BE平分∠ABC

（2）解：连接EC，由（1）BE平分∠ABC，

∴E是弧AC的中点，

∴AE=EC=6，

又∠EBC=∠CAD=∠ADC，

∴ED=BD=8

∵A、B、C、E四点共圆，

∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF

∴△AEF∽△DEC

∴ ，

∴EF= =

【解析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．