Question

【题目】已知Sn为数列{an}的前n项和，an＞0，an2+2an=4Sn﹣1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求{bn}的前n项和Tn ．
（3）cn= ，{cn}的前n项和为Dn ， 求证：Dn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时， ，解之得a1=1；

当n≥2时 ， ，

， ，因为an＞0，

所以 ，

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=2n﹣1

（2）解：∵

∴

（3）证明： =

Dn=c1+c2+c3+…+cn= = ，即

【解析】（1）由an2+2an=4Sn﹣1，可求得a1 ， 当n≥2时，下推一项后两式作差，整理可得以 ，利用等差数列的定义可判断数列{an}为等差数列，继而可得其通项公式；（2）利用裂项法可得 ，累加可求{bn}的前n项和Tn ． （3）利用放缩法得 = ，从而可求{cn}的前n项和为Dn ， 即证：Dn＜ ．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．