Question

【题目】如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：

（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；
（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设G在平面SEF上的射影为点H，则GH⊥平面SEF．

∵折前SG1⊥G1E、SG3⊥G3F，

∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，

∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF

∵ ， ，SG∩GH=G，

∴EF⊥平面SGH

∵SH平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H为△SEF的垂心．

（2）解：过G作GO⊥SE交SE于点O，连OH，

则∠GOH即为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．

∵ ，

又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，

∴SE⊥平面GHO∵OH平面GHO，

∴SE⊥OH，∴∠GOH为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．

设正方形SG1G2G3的边长为1，

则在Rt△SEG中， ∴

又 ，

∴sin∠GOH= = ，∴二面角G﹣SE﹣F的正弦值为 ．

【解析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证明G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．