Question

【题目】已知函数， ， ，且的最小值为．

（1）求的值；

（2）若不等式对任意恒成立，其中是自然对数的底数，求的取值范围；

（3）设曲线与曲线交于点，且两曲线在点处的切线分别为， ．试判断， 与轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）． （3）， 与轴能围成2个等腰三角形．

【解析】试题分析：

(1)由原函数与导函数的关系可求得a=-2；

(2) 不等式即，构造函数令，分类讨论可得的取值范围是．

(3) 设， 的倾斜角分别为， ，若， 与轴所围成的三角形是等腰三角形，则或． 分类讨论： 和两种情况可得， 与轴能围成2个等腰三角形．

试题解析：

（1），所以，则的最小值为，

因此抛物线的对称轴为，即，所以．

（2）由（1）知， ．不等式即，

所以对任意恒成立．

令，则．

①若，则，所以函数在上单调减，

故，解得，

此时无符合题意的值； ②若，令，解得．

列表如下：

	↘	极小值	↗

由题意，可知 解得．

故的取值范围为．

（3）设， 的倾斜角分别为， ，则， ．

因为，所以， ，则， 均为锐角．

若， 与轴所围成的三角形是等腰三角形，则或．

①当时， ，即，解得，

而，即，

整理得， ，解得．

所以存在唯一的满足题意．

②当时，由可得，

而，即，

整理得， ．

令，则．

令，解得．列表如下：

	↘	极小值	↗

而， ， ，

所以在内有一个零点，也是上的唯一零点．

所以存在唯一的满足题意．

综上所述， ， 与轴能围成2个等腰三角形．