【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,判断并说明函数
的零点个数.若函数
所有零点均在区间
内,求
的最小值.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2)存在两个零点
,且
,
;
的最小值为
.
【解析】
(1)对函数进行求导,根据的不同取值进行分类讨论,根据导函数的正负性,求出函数的单调性即可;
(2)根据,结合
的导数
的性质进行分类讨论求解即可.
(1)的定义域为
当时,
,
所以在
上单调递增:
当时,
所以在
上单调递增:
当时,令
,
得,
(舍)
当时,
,
当时,
所以在
上单调递增,
在上单调递减.
综上所述,当时,
在
上单调递增:
当时,
在
上单调递增,
在上单调递减.
(2)当时,
,
当时,
单调递增,
,
则,故不存在零点:
当时,
,
在
上单调递减,
所以
所以,
单调递增,
又
所以存在唯一,使得
当时,
,
,
所以单调递减,
,
所以,存在使得
当时,
单调递增;
当时,
单调递减, .
又,
因此,在
上恒成立,
故不存在零点.
当时,
,
所以单调递减,
因为,
所以单调递减,
又,
所以存在唯一,使得
.
当时,
,
故不存在零点.
综上,存在两个零点
,且
,
因此的最小值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆,焦距为2,离心率
为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作圆
的切线,切点分别为
,直线
与
轴交于点
,过点
的直线
交椭圆
于
两点,点
关于
轴的对称点为
,求
的面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下:
甲套设备的样本的频率分布直方图
乙套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 | 1 | 6 | 19 | 18 | 5 | 1 |
(1)根据上述所得统计数据,计算产品合格率,并对两套设备的优劣进行比较;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式:,其中
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【题目】如图1,与
是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形,
,
,连接是
边
上一点,过
作
,交
于点
,沿
将
向上翻折,得到如图2所示的六面体
(1)求证:
(2)设若平面
底面
,若平面
与平面
所成角的余弦值为
,求
的值;
(3)若平面底面
,求六面体
的体积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,且
在椭圆
上运动,当点
恰好在直线l:
上时,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)作与平行的直线
,与椭圆交于
两点,且线段
的中点为
,若
的斜率分别为
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】移动支付(支付宝支付,微信支付等)开创了新的支付方式,使电子货币开始普及,为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关,对某地200人进行了问卷调查,得到数据如下:60岁以上的人群中,习惯使用移动支付的人数为30人;60岁及以下的人群中,不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中,随机抽取一人,抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.
(1)完成如下的列联表,并判断是否有的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关,并说明理由.
习惯使用移动支付 | 不习惯使用移动支付 | 合计(人数) | |
60岁以上 | |||
60岁及以下 | |||
合计(人数) | 200 |
(2)在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中,每月移动支付的金额如下表:
每月支付金额 | 300以上 | ||
人数 | 15 | 5 |
现采用分层抽样的方法从中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率.
附:,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】下列结论中正确的个数是( )
①已知函数是一次函数,若数列
通项公式为
,则该数列是等差数列;
②若直线上有两个不同的点到平面
的距离相等,则
;
③在中,“
”是“
”的必要不充分条件;
④若,则
的最大值为2.
A.1B.2C.3D.0
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