Question

【题目】【2016高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？

Answer 1

【答案】（1）312（2）

【解析】

试题分析：（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以为自变量建立体积的函数关系式，与(1)相似，先用分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，，最后利用导数求其最值

试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.

因为A1B1=AB=6，

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.

(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0<h<6,OO1=4h.连结O1B1.

因为在中，

所以，即

于是仓库的容积，

从而.

令，得 或（舍）.

当时， ，V是单调增函数；

当时，，V是单调减函数.

故时，V取得极大值，也是最大值.

因此，当 时，仓库的容积最大.