Question

【题目】 已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y﹣3=0垂直．

（1）求实数a、b的值

（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或。

【解析】

(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.①

f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，

由条件f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9，②

由①②式解得a＝1，b＝3.

(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0得x≥0或x≤－2，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m≥0或m＋1≤－2，

∴m≥0或m≤－3.