Question

【题目】已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前 项和为，且是与的等差中项．

（）求数列的通项公式．

（）设，数列满足，．求数列的前项和．

（）在（）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，，恒有成立，且（为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.

【解析】分析：（1）本题考查求数列的通项公式，用数列的前n项和求是列的通项公式，注意对于第一项的验证，又根据等比中项解决问题，这一道题目比较困难，第一问考查的内容较多．
（2）构造新数列，构造数列时按照一般的方式来整理，整理后发现结果比较简单，利用等比数列的前n项和公式求数列的和．
（3）本题证明数列是一个等差数列，应用等差数列的定义来证明，只要数列的连续两项之差是一个常数，问题得证，证明是一个常数的过程是一个数列和函数综合的过程，用到所给的函数的性质．

详解：

（）依题意得，故．

又，即，

所以，当时，．

又也适合上式，

故．

（）因为，

，因此．

由于，所以是首项为，公比为的等比数列．

所以，所以．

所以．

（）方法一：

，

则．

所以．

因为已知为常数，则数列是等差数列．

方法二：

因为成立，且，

所以，

，

，

，

所以．

所以数列是等差数列．