Question

【题目】已知函数f（x）=．

（1）若f（2）=a，求a的值；

（2）当a=2时，若对任意互不相等的实数x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求实数m的取值范围；

（3）判断函数g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零点的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）个零点，理由见解析.

【解析】

（1）分类讨论求出f（2），代入 f（2）＝a，解方程可得；

（2）a＝2时，求出分段函数的增区间；“对任意互不相等的实数x1，x2∈（m，m+4），都有0成立”f（x）在（m，m+4）上是增函数，根据子集关系列式可得m的范围；

（3）按照x≥a和x＜a这2种情况分别讨论零点个数．

解：（1）因为f（2）=a，

当a≤2时，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；

当a＜2时，-4+2（a+1）-a=a，此式无解；

综上可得：a=1．

（2）当a=2时，f（x）=，

∴f（x）的单调增区间为（-∞，）和（2，+∞），

又由已知可得f（x）在（m，m+4）上单调递增，

所以m+4≤，或m≥2，

解得m≤-或m≥2，

∴实数m的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）；

（3）由题意得g（x）=

①当x≥a时，对称轴为x=，

因为-，

所以f（a）=a2-a2-2a-a=-3a＞0，

∵-a=＞a，

∴f（）=-=-＜0，

由二次函数可知，g（x）在区间（a，）和区间（，+∞）各有一个零点；

②当x＜a时，对称轴为x=＞a，

函数g（x）在区间（-∞，a）上单调递增且f（）=0，

所以函数在区间（-∞，a）内有一个零点．

综上函数g（x）=f（x）-x-2a（-＜a＜0）在R上有3个零点．