Question

【题目】设fn（x）=（3n﹣1）x2﹣x（n∈N*），An={x|fn（x）＜0}
（1）定义An={x|x1＜x＜x2}的长度为x2﹣x1 ， 求An的长度；
（2）把An的长度记作数列{an}，令bn=anan+1；
1°求数列{bn}的前n项和Sn；
2°是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得S1 ， Sm ， Sn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由fn（x）＜0得（3n﹣1）x2﹣x＜0，∴0＜x＜ ，

∴An的长度为

（2）解：1°、an= ，bn=anan+1= = （ ﹣ ），

∴数列{bn}的前n项和Sn= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]= ；

2°、由1°可知S1= ，Sm= ，Sn= ，

假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得S1，Sm，Sn成等比数列，

则Sm2=S1Sn，化简得（﹣3m2+6m+2）n=5m2，

m=2时，n=10；

m≥3时，﹣3m2+6m+2＜0，5m2＞0，等式不成立，

综上所述，存在正整数m=2，n=10，使得S1，Sm，Sn成等比数列

【解析】（1）利用新定义，即可求An的长度；（2）1°利用裂项法可求得Sn；
2°假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、Sm、Sn成等比数列，可求得（﹣3m2+6m+2）n=5m2 ， 由1＜m＜n，验证可求得结论．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．