Question

【题目】已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．
（1）求直线l所经过的定点P的坐标；
（2）若直线l与线段AB有公共点，求λ的取值范围；
（3）若分别过A，B且斜率为 的两条平行直线截直线l所得线段的长为4 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），

则λ（x+y﹣4）+（3x﹣y）=0，

∵λ∈R，

∴ ，

解的 ，

∴直线l所经过的定点P的坐标（1，3）

（2）解：∵点A（2，0），点B（﹣2，0），定点P的坐标（1，3）；

∴kPA= =﹣3，kPB= =1，

∵直线l与线段AB有公共点，

当λ=1时，直线x=1，与线段AB有公共点，

当λ≠1时，直线l的斜率k= ，

∴ ≥1或 ≤﹣3，

解的﹣1≤λ＜1，或1＜λ≤3，

综上所述：λ的取值范围为[﹣1，3]

（3）解：分别过A，B且斜率为 的两条平行直线，分别为y= x+2 ，y= x﹣2 ，

由（1）知，l恒过点（1，3），

当斜率存在时，设直线l为y﹣3=k（x﹣1），由图象易知，直线l的倾斜角为30°，即k= ，

∴过点p的直线l为y﹣3= （x﹣1），即 x﹣3y+9﹣ =0．

当直线l的斜率不存在时，由（1）可知直线过定点（1，3），则直线方程为x=1，

令x=1，可知y1=3 ，y2=﹣ ，|y1﹣y2|=4 ，符合题意，

综上所述：直线l的方程为x=1或 x﹣3y+9﹣ =0

【解析】（1）由题意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），由此可得方程组，从而可求定点的坐标；（2）求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围；（3）先求出过A，B且斜率为 的两条平行直线，再分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一般式方程的相关知识，掌握直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）．