Question

【题目】已知f（x）= （ax﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

所以f（x）定义域为R，

又f（﹣x）= （a﹣x﹣ax）=﹣ （ax﹣a﹣x）=﹣f（x），

所以函数f（x）为奇函数

（2）解：任取x1＜x2

则f（x2）﹣f（x1）= （ax2﹣ax1）（1+a﹣（x1+x2））

∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0

①当a＞1时，a2﹣1＞0，ax2﹣ax1＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，

②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0．，ax2﹣ax1＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，

所以f（x）为增函数

（3）解：当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，

即b小于等于f（x）的最小值，

由（2）知当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为 （ ）=﹣1，

∴b≤﹣1．

求b的取值范围（﹣∞，﹣1]

【解析】（1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（﹣x）=﹣f（x），从而可得函数为奇函数；（2）再证单调性：利用定义任取x1＜x2 ， 利用作差比较f（x1）﹣f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性；（3）对一切x∈[﹣1，1]恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．