Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．

Answer 1

【答案】①③⑤
【解析】解：①令y=x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k= ，b= ，则直线y= x+ 经过（﹣1，0），所以本命题错误；
设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1 ， y1）和（x2 ， y2），
把两点代入直线l方程得：y1=kx1 ， y2=kx2 ，
两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），
则（x1﹣x2 ， y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则③正确；
④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k= ，b= ，故④不正确；
⑤令直线y= x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．
综上，命题正确的序号有：①③⑤．
所以答案是：①③⑤．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．