Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时, 求函数在区间上的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调增区间为，单调减区间为;（Ⅱ）见解析.

【解析】【试题分析】（１）借助题设条件导数与函数的单调性之间的关系求解；（２）先确定函数的极大值，再运用分类整合思想分析求解：

（Ⅰ）由得，

令，得，

的情况如下表：

	+	0		0	+
		极大		极小

所以函数的单调区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）由可得.

当即时，由（Ⅰ）可得在和上单调递增，在上单调递减，

所以，函数在区间上的最大值为，

又由（Ⅰ）可知，

所以；

当，即时，由（Ⅰ）可得在上单调递减，在上的最大值为.

当，即时，由（Ⅰ）可得在上单调递减，在上单调递增，

所以，函数在区间上的最大值为，

法1：因为，

所以.

法2：因为，

所以由（Ⅰ）可知，，

所以，

所以.

法3：设，则，

的在上的情况如下表：

	1				2
		+	0
			极大

所以，当时，，

所以，即

所以 .

综上讨论，可知：

当时，函数在区间上的最大值为；

当时，函数在区间上的最大值为.