Question

【题目】已知数列中，，且点在直线上．

⑴求数列的通项公式；

⑵若函数（，且），求函数的最小值；

⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）；(3)，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）将点代入直线得到，数列是以为首项，为公差的等差数列，再由得到的通项公式；（2）由（1）可得，

，，是单调递增的，故的最小值是；（3）由（1）及，，即，，，最后将该式整理即可得出．

试题解析：⑴点在直线上，即，且，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

，也满足，

⑵，

，

，

是单调递增的，故的最小值是．

⑶，，

即，，

，．

故存在关于的整式，使等式对于一切不小于的自然数恒成立．

法二：先由的情况，猜想出，再用数学归纳法证明．