Question

【题目】定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则 ；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确；
（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b= ，则ab= ，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；
（3）对于③，
i． ≥1时，此时 ≥0，
当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb= ，此时则 ，命题成立；
当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时 ， ＞lna，则 ，命题成立；
当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0， 成立；
ii． ＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
（4）对于④，
当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
故④正确．
所以答案是①③④．
【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能得出正确答案．