Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．

∴f（0）= =0，解得b=1

（2）解：由（1）可得：f（x）= = ．

x1＜x2，则 ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）= = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）在R上是减函数

（3）解：∵函数f（x）是R上的奇函数，对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

∵函数f（x）在R上是减函数，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2，

∴k＜3t2﹣2t= ，任意的t∈R恒成立．

∴k ．

因此k的取值范围是

【解析】（1）利用f（0）=0即可解出；（2）利用减函数的定义即可证明；（3）利用函数的奇偶性、单调性即可解出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．