Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且，为的中点.

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）详见解析（II）

【解析】

试题分析：（I）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用三角形中位线得：连接交于点，则（II）求线面角，一般利用空间向量，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角的正弦值

试题解析：解：（I）连接，交于点，连接，则是的中点.

又∵是的中点，∴是的中位线，

∴，又∵平面，平面，

∴平面.

（II）∵，，，∴平面，

如图，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

设平面的一个法向量为，由，得，

，令，则，，

∴，又∵，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.