Question

【题目】已知函数.

（1）试判断函数的单调性；

（2）设，求在上的最大值；

（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）在上的最大值为；

(3) 证明过程详见试题解析.

【解析】试题分析：（1）先对函数求导，令导函数为0，即可求得函数在上单调递增，在上单调递减． （2）结合函数的单调性，分时， 时， 三种情况进行讨论，即可求在上的最大值；(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.

试题解析：（1）解：（1）函数的定义域是．由已知．

令，得．

因为当时， ；当时， ．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）可知当，即时， 在上单调递增，所以．

当时， 在上单调递减，所以．

当，即时， ．

综上所述，

（3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为， ，所以，即．因此对任意，不等式．