Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣lnx+a﹣1，g（x）= +ax﹣xlnx，其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x≥1时，g（x）的最小值大于 ﹣lna，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．，

当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．

∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）

（2）解：易知g'（x）=x﹣lnx+a﹣1=f（x）．

由（1）知，f（x）≥f（1）=a＞0，

所以当x≥1时，g'（x）≥g'（1）=a＞0．

从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，

所以g（x）的最小值 ．

依题意得 ，即a+lna﹣1＞0．

令h（a）=lna+a﹣1，易知h（a）在（0，+∞）上单调递增．

所以h（a）＞h（1）=0，所以a的取值范围是（1，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，利用导数的符号求解函数的单调性．（2）利用g'（x）=x﹣lnx+a﹣1=f（x）．结合（1）知，判断g（x）在[1，+∞）上单调递增，求出g（x）的最小值，推出a+lna﹣1＞0，令h（a）=lna+a﹣1，利用h（a）在（0，+∞）上单调递增．求解a的范围．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．