Question

【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．说明，再由直角三角形得，从而可得值，得标准方程；

（2）关键是把表示为一个变量的函数，当直线斜率不存在时，可直接求出的长，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立方程组，变形后由判别式写出一个不等关系，并设，由韦达定理得出，由表示出点坐标代入椭圆方程得，代入刚才的得的关系式：，它满足判别式＞0，计算中点的坐标，再计算线段长，最终表示为的函数，从而中求得取值范围．

详解：（1）由题意，，，∴，

∴椭圆

（2）设，，，

由

∴，得：

当的斜率不存在时，，

由,，得，∴，

当的斜率存在时，设

得：，

，

由点在椭圆上得得：，此时总成立

又，

∴，

∴且，∴且

综上：